几何布朗运动dong（几何布朗运动的期望）

几何布bu朗运动就是物理中典型的随机运动dong，其特点就是不可预测ce，而在股市中的短期股票piao价格也是不可预测。

几何布朗运动

一、正态随机变量概率lu密度函数描述：

(μ为总体ti均数、σ为标准差）

二、布朗运yun动的数学描述：

价jia格时间函数P(x），T+t时刻的价格P(T+t)与T时刻价格P(T)的差值：P(T+t)-P(T)是一个正态随机变量，分布的平均期望值μt，标biao准差为。（T0，t0)

重zhong大缺陷：

1、按此价格理论上可有负值，但实际中价jia格不可能存在负值。

2、不论价格初值为何值，固定时间长度的de价格差具有相同的正态分fen布，不符合常理。

三、几何布朗运动dong：

把价格差改为价jia格的涨跌幅：可以避bi免直接使用布朗运动描述价格ge的缺陷，即为几何布朗运动。

是一个正态随机变量liang，分布的平均期望值μt，标准差cha为。（T0，t0)

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几何布朗lang运动

几何布bu朗运动的作用是用来模拟股价的变动dong。它的好处在于，一般形式布朗运动中zhong取值可能为负数，而几何布朗运动取值zhi永远不小于0，这一点符合股价永远不bu为负的特征。

几何布朗运动微分形式的表述shu。或者称SDE（随机微分方程）形式：

其中的S(t)可以理解jie为股价。

几ji何布朗运动函数shu形式表述：

上述式shi子告诉我们，可ke以先生成一服从的一般形式布朗lang运动，然后求其指数函数，最后乘以S(0)，即期初的de股价，就可以得到dao几何布朗运动。

补充：为何这里t的de系数多出一项？具体可以参考伊藤公式shi。

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几何布bu朗运动 (GBM) (也叫jiao做指数布朗运动) 是连续时shi间情况下的随机过guo程,其中随机变量liang的对数遵循布朗运动,[1] also called aWiener process.几ji何布朗运动在金融数shu学中有所应用,用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿fang股票价格.

分数布朗运动

世界是非线性的,宇宙万物绝大da部分不是有序的、线性的、稳定ding的,而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界.有序的de、线性的、稳定的只存在于我们自己ji构造的理论宫殿,而现实宇宙充chong满了分形.在股票市场的价格波bo动、心率及脑波的波动、电子元器qi件中的噪声、自然地貌等大量的自zi然现象和社会现象中存在着一类近jin乎全随机的现象,它们具有如下特性xing：在时域或空域上有自相似性xing和长时相关性和继承性；在频域yu上,其功率谱密度du在一定频率范围wei内基本符合1/f的多duo项式衰减规律.因此ci被称为1/f族随机过guo程.Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分fen数布朗运动(fractional Brownian motion,FBM)模型是使用最zui广泛的一种,它具有自相xiang似性、非平稳性两个重要性质,是许xu多自然现象和社会现象的内在特性.分数布朗运动被bei赋予不同的名称,如ru分形布朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等.

没听ting过几何布朗运动

貌似si有布朗运动和布朗实验

悬浮微粒不停地做zuo无规则运动的现象叫做布朗运yun动

这zhe是1826年英国植物wu学家布朗（1773-1858）用显微镜观guan察悬浮在水中的花粉是发fa现的。后来把悬浮微粒的这种zhong运动叫做布朗运动。不只是花hua粉和小炭粒，对于液体中各种不bu同的悬浮微粒，都可以观察到dao布朗运动。

那么，布朗运动是shi怎么产生的呢？在显微镜下看kan起来连成一片的液体，实际上是由许xu许多多分子组成的。液体分子不停ting地做无规则的运yun动，不断地抓高年级微粒。悬浮的de微粒足够小时，受到的来自各个ge方向的液体分子zi的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作zuo用强，致使微粒又向其它方向运动dong。这样，就引起了le微粒的无规则的布朗运动。

1827年，苏格兰lan植物学家R。布朗lang发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒li不停地作不规则ze的折线运动，称为布朗运动。人们长期都不知道其中的原理。50年后，J·德耳索提出这些xie微小颗粒是受到周围分子的不平衡的de碰撞而导致的运动。后来得到爱因斯坦tan的研究的证明。布朗运动也就成为分子zi运动论和统计力学发fa展的基础。

悬浮在液体或气体中的微wei粒(线度~10－3mm)表现出chu的永不停止的无wu规则运动，如墨汁zhi稀释后碳粒在水中的de无规则运动，藤黄huang颗粒在水中的无规则运动……．而er且温度越高，微粒li的布朗运动越剧烈．布朗运动代表了le一种随机涨落现象，它不仅反映了le周围流体内部分子运动的无规则性，关于它的理论在其他许多领ling域也有重要应用，如对测量仪表测量liang精度限度的研究、对高倍放大的电dian讯电路中背景噪声的de研究等等．

19世纪中对布朗运动的研究

布朗的发现是一个新奇的de现象，它的原因是什么？人们是shi迷惑不解的。在布bu朗之后，这一问题一再被提出，为此有you许多学者进行过长期的研究。一些早期的研究者简jian单地把它归结为热或电等外wai界因素引起的。最早隐yin约指向合理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他提出布朗运动起qi源于分子的振动，他还公布了首次对微wei粒速度与粒度关系的观察结果guo。不过他的分子模型还不是现xian代的模型，他看到的实际上shang是微粒的位移，并不是振zhen动。

在维纳na之后，S·埃克斯纳也测定了微wei粒的移动速度。他提出布朗运动dong是由于微观范围的流动造成的，他没有说明这种流动的根源yuan，但他看到在加热和光照使液体粘zhan度降低时，微粒的运动加剧了le。就这样，维纳和S.埃克斯纳都把布朗运动归结jie为物系自身的性质zhi。这一时期还有康kang托尼，他试图在热力理论lun的基础上解释布朗运动dong，认为微粒可以看成是巨大分子zi，它们与液体介质处于yu热平衡，它们与液ye体的相对运动起源于渗shen透作用和它们与周围液体之zhi间的相互作用。

到了70——80年nian代，一些学者明确地把布朗运动dong归结为液体分子撞击微粒的结jie果，这些学者有卡蓬peng内尔、德尔索和梯瑞昂，还有耐nai格里。植物学家耐格里(1879)从cong真菌、细菌等通过空气传播bo的现象，认为这些微粒即使在zai静止的空气中也可以不沉。联系到物理学中zhong气体分子以很高速su度向各方向运动的结论，他推测在阳yang光下看到的飞舞的尘埃是气体分fen子从各方向撞击的结果。他说：“这zhe些微小尘埃就象弹性球一样yang被掷来掷去，结果如同tong分子本身一样能保持长chang久的悬浮。”不过耐格ge里又放弃了这一可能达到正确解释的de途径，他计算了单个气体分子zi和尘埃微粒发生弹性碰撞时微粒的速su度，结果要比实际观察到的小许多数量liang级，于是他认为由于气体分子运yun动的无规则性，它们共gong同作用的结果不能使微wei粒达到观察速度值，而在zai液体中则由于介质和微粒的摩mo擦阻力和分子间的粘附力，分子运动的设想不能成为合适的解jie释。

1874——1880年间，卡蓬内尔、德耳索和梯瑞rui昂的工作解决了耐格里遇到的难题ti。这里的关键是shi他们认为由于分子运动的无规则性和分fen子速度有一分布，在液体或huo气体中的微观尺chi度上存在密度和压力的涨落luo。这种涨落在宏hong观尺度上抵消掉了。但是如ru果压方面足够微小，这种不bu均匀性就不能抵消，液体中的相应的扰动就能neng表现出来。因此悬xuan浮在液体中的微wei粒只要足够小，就会不停地振荡下去。卡蓬内尔明确地指出唯一影ying响此效应的因素是微粒li的大小，不过他把这zhe种运动主要看成振荡，而er德耳索根据克劳修斯把分子运动归结jie为平动和转动的观guan点，认为微粒的运动是无wu规则位移，这是德耳索的主要yao贡献。

此后，古伊在1888——1895年期间对布朗运动进行过大量的实验yan观察。古伊对分fen子行为的描述并不比bi卡蓬内尔等人高明，他也没有弄nong清涨落的见解。不bu过他的特别之处是他强调的不是shi对布朗运动的物理解释，而是把布朗运动作为探究分子运动性质zhi的一个工具。他说：“布朗运动表biao明，并不是分子的运动，而是从分子运动导出的一yi些结果能向我们提供直接的和可见jian的证据，说明对热本质假设的正确性。按照这样的观点，这一现xian象的研究承担了对分子zi物理学的重要作用。”古伊yi的文献产生过重要的影响，所suo以后来贝兰把布朗运动正确解释shi的来源归功于古伊。

到了1900年，F·埃克斯纳完成了布朗运动前期qi研究的最后工作。他用了许多悬浊液进行了和他的父亲S·埃克斯纳30年前作过的同类研究jiu。他测定了微粒在1min内nei的位移，与前人一样，证实了微粒的de速度随粒度增大而降低，随温度升高而er增加。他清楚地认识到微粒作为巨大分fen子加入了液体分子的热运yun动，指出从这一观点出chu发“就可以得出微粒的动能和温度du之间的关系。”他说：“这种可见的运动及其测定ding值对我们清楚了解液体内部的运动会有you进一步的价值”。

以上是1900年前对布朗运动研究的基ji本情况。自然，这些研究与分fen子运动论的建立是密切相xiang关的。由麦克斯威和玻尔兹zi曼在60——70年代建立的气体分子zi运动论在概念上的一个重大发展是抛pao弃了对单个分子进行详xiang细跟踪的方法，而代之以对大量分子zi的统计处理，这为弄nong清布朗运动的根源打下了基础chu。与布朗运动的研究有you密切关系的还有在60年代由格雷哈ha姆建立的胶体科学。所suo谓胶体是由粒度介于宏观粒子和微观分fen子之间的微粒形成的分散体ti系，布朗运动正是胶体粒子在液体介质zhi中表现的运动。

对于布朗运yun动的研究，1900年是个重要的de分界线。至此，布朗运动的适当dang的物理模型已经显明，剩sheng下的问题是需要作出定量的理论lun描述了。

爱因yin斯坦的布朗运动理论

1905年nian，爱因斯坦依据分子运动dong论的原理提出了布朗lang运动的理论。就在差不多duo同时，斯莫卢霍夫斯基ji也作出了同样的成果。他们的理论圆满地回答了布朗运动的de本质问题。

应该指出，爱因斯坦从cong事这一工作的历史背景jing是那时科学界关于分子真实shi性的争论。这种争论由来已久，从原yuan子分子理论产生以yi来就一直存在。本世纪初，以物理li学家和哲学家马赫和化学家奥斯特te瓦尔德为代表的一些人再zai次提出对原子分子理论lun的非难，他们从实shi证论或唯能论的观点出chu发，怀疑原子和分子的真实性，使得这一争论成为wei科学前沿中的一个中心问题。要回答da这一问题，除开哲学上的分岐qi之外，就科学本身来lai说，就需要提出更有力的de证据，证明原子、分子zi的真实存在。比如以往测定的相对原子zi质量和相对分子质量只是质量的相xiang对比较值，如果它们是真实存在的，就jiu能够而且也必须测得相对原子zi质量和相对分子质量的绝对值zhi，这类问题需要人们回答。

由于上述情况，象爱因斯坦在论lun文中指出的那样，他的目的是“要yao找到能证实确实存在有一yi定大小的原子的最有说shuo服力的事实。”他说：“按照热的分子zi运动论，由于热的分子zi运动，大小可以用显微镜看见的物体ti悬浮在液体中，必定会发生其大da小可以用显微镜容易观测到的运动dong。可能这里所讨论的运动就是所谓wei‘布朗分子运动’”。他认为只要能neng实际观测到这种运动和预期的de规律性，“精确测定原子的de实际大小就成为可能neng了”。“反之，要是关于这种运动的de预言证明是不正确的，那么就jiu提供了一个有份量的证据来反fan对热的分子运动观”。

爱因斯坦的成果大da体上可分两方面。一是根据ju分子热运动原理li推导

是在t时间里，微wei粒在某一方向上位移的统计平均值，即方均根值，D是微粒的de扩散系数。这一公式是看来毫无规则ze的布朗运动服从分子热运动规gui律的必然结果。

爱因斯坦成果的第di二个方面是对于球qiu形微粒，推导出了可以yi求算阿

式中zhong的η是介质粘度，a是微粒半径，R是气体常数，NA为阿伏加德罗常chang数。按此公式，只要实际测得准确que的扩散系数D或布朗运动均方位 得到dao原子和分子的绝jue对质量。爱因斯坦tan曾用前人测定的糖在水中的扩散系xi数，估算的NA值为3.3×1023，一年后(1906)又修改为wei6.56×1023。

爱因斯坦的理li论成果为证实分子的真实性xing找到了一种方法fa，同时也圆满地阐明了布朗运动的de根源及其规律性。下面mian的工作就是要用充足的实验来lai检验这一理论的可靠性。爱因斯坦说：“我不想在这里把可供gong我使用的那些稀少的实shi验资料去同这理论的结果进行比较，而把它让给实验方面掌握这一问题的那na些人去做”。“但愿有you一位研究者能够立即成功地解决jue这里所提出的、对热理论lun关系重大的这个问wen题！”爱因斯坦提出的de这一任务不久之后就由贝兰(1870——1942)和斯维德de伯格分别出色的完成了。这里还应该提到本ben世纪初在研究布朗lang运动方面一个重大的实shi验进展是1902年齐格蒙第(1865——1929)发明了超显微镜jing，用它可直接看到和he测定胶体粒子的布朗运动，这也就是shi证实了胶体粒子zi的真实性，为此ci，齐格蒙第曾获1925年诺nuo贝尔化学奖。斯维德伯格测定布朗运动dong就是用超显微镜进行的。

贝bei兰测定阿伏加德罗常数的de实验

1908到1913年期间，贝兰进行了验yan证爱因斯坦理论和测定阿伏加德罗luo常数的实验研究。他ta的工作包括好几方面mian。在初期，他的想法是，既然在zai液体中进行布朗运动的微粒li可以看成是进行热re运动的巨大分子，它们就应该gai遵循分子运动的规律，因此只要找zhao到微粒的一种可用实验观测的性质，这种性质与气体定律在逻辑上是等效的de，就可以用来测定阿伏加德罗常数。1908年，他想到dao液体中的悬浮微粒相当于“可见分fen子的微型大气”，所以微粒浓nong度(单位体积中的数目)的de高度分布公式应与气压方程有相同的de形式，只是对粒子受到的浮力应ying加以校正。这一公式是：ln(n／n0)=-mgh(1-ρ／ρ0)／kt。式中k是波尔兹zi曼常数，自k和heNA的关系，公式也可写成ln(n／n0)=-NA mgh(1-ρ／ρ0)／RT。根gen据此公式，从实验测定的粒子zi浓度的高度分布数据就可以计ji算k和NA。

为进行这种实验，先要制得de合用的微粒。制备bei方法是先向树脂的de酒精溶液中加入大量水，则树脂zhi析出成各种尺寸的小球，然后用沉降分离的方法多duo次分级，就可以得到大小xiao均匀的级份(例如直径约3／4μm的藤黄球)。用一些精细的de方法测定小球的直径和密度。下一步是shi测定悬浮液中小球的高度分布，是将悬浮液装在透明和he密闭的盘中，用显微镜观察，待沉降达da到平衡后，测定不同高度上的粒li子浓度。可以用快速照相，然后计数。测得高度分布数据，即可计算NA。贝兰lan及其同事改变各种实验条件：材料(藤teng黄、乳香)，粒子质量(从1到50)，密度(1.20到1.06)，介质(水，浓糖水，甘油)和温wen度(-90°到60°)，得到的NA值是6.8×1023。

贝兰lan的另一种实验是测量布朗运动，可ke以说这是对分子热re运动理论的更直接证明。根据前述的de爱因斯坦对球形粒子导出的公式，只要yao实验液，在选定的一段时间内用yong显微镜观察粒子的水平投影ying，测得许多位移数shu值，再进行统计平均。贝兰改变bian各种实验条件，得到的NA值是shi(5.5-7.2)×1023。贝兰还用过一yi些其它方法，用yong各种方法得到的NA值是：

6.5×1023 用类似气体悬浮液分布法，

6.2×1023 用类似液体悬浮液分布法fa，

6.0×1023 测定浓悬浮液中zhong的骚动，

6.5×1023 测定平动dong布朗运动，

6.5×1023 测定转动布朗运yun动。

这些结jie果相当一致，都接近现代公认的数值6.022×1023。考虑到方法涉及许多duo物理假设和实验技术上的困难，可ke以说这是相当了不起qi的。以后的许多duo研究者根据其它原理测定的No值都肯定了贝bei兰结果的正确性。与yu贝兰差不多同时，斯维德伯bo格(1907)用超显微镜观测金溶胶的布朗运动，在zai测定阿伏加德罗常数和验证爱因斯坦理li论上也作出了出色的de工作。可以说他们是最先称得de原子质量的人，所以在1926年，贝兰和斯维德伯格分别bie获得了诺贝尔物wu理学奖和化学奖。

就这样，布朗lang运动自发现之后，经过多半个世纪ji的研究，人们逐渐接近对它的de正确认识。到本世纪ji初，先是爱因斯坦和斯莫卢霍huo夫斯基的理论，然后hou是贝兰和斯维德伯格的实验使这一yi重大的科学问题得到圆yuan满地解决，并首次测定了阿a伏加德罗常数，这也就是为分子zi的真实存在提供了一个直观的、令ling人信服的证据，这zhe对基础科学和哲学有着巨大的de意义。从这以后，科学上关于原子和he分子真实性的争论即告终结。正如原先原子论的主要反fan对者奥斯特瓦尔德de所说：“布朗运动和动力学假说shuo的一致，已经被贝兰十分圆满地证实了le，这就使那怕最挑tiao剔的科学家也得承认这是充满空间的物wu质的原子构成的一个实验证zheng据”。数学家和物理li学家彭加勒在1913年总结性地说shuo道：“贝兰对原子数目的光guang辉测定完成了原子论的胜sheng利”。“化学家的原子论现xian在是一个真实存在zai”。

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